Народ, помогите мне решить такой интегральчик (последний нерешенный в семестровой остался):
S (x)^2*sqrt(1+(x)^2) dx
словами, x квадрат умножить на корень 1 + x квадрат.
Если тут что-то заменять, хотелось бы иметь нормальную обратную замену (так что замена x=sh(y) тут не катит).
Кто-то говорил, что надо решать как дифференциальный бином или фиг знает.
Мож кто-нибудь решит, а то реально последнее осталось.
По-моему решается достаточно просто, и не надо делать замену через x=sh(y) .
S (x)^2*sqrt(1+(x)^2) dx =
Заменяем t=sqrt(1+(x)^2), и вычисляем остальное:
1+(x)^2=(t)^2 ; (x)^2=(t)^2 - 1 ; x=sqrt( (t)^2 - 1) ;
dx = dt/ sqrt( (t)^2 - 1 )
Теперь подставляем всё это в начальный интеграл заместо старых переменных :
= S ( (t)^2 -1) * t * ( dt/ sqrt( (t)^2 - 1 ) )=
S (t * sqrt( (t)^2-1) ) dt =
(1/2) S sqrt( (t)^2 - 1 ) d ( (t)^2 - 1)=
sqrt( ( (t)^2 - 1) ^ 3) / 3 + C=
Возвращаешь исходные переменные, то есть делаешь обратную замену:
= sqrt ( (1 + (x)^2 - 1 )^3)/3 + C=
sqrt ( (x)^6) / 3 + C = ( (x)^3)/ 3 + C .